Lucas Leme - Blog – Lucas Leme

import pandas as pd
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
import sys

sys.path.append('../')

if True:
    from _plots.figure import make_fig

def load_imf_dataset(path: str):
  dados = pd.read_excel(path).T
  dados.columns = dados.iloc[0]
  dados = dados.iloc[1:]
  dados = dados.replace('no data', np.nan)
  dados.index = pd.to_datetime(dados.index, format='%Y')
  return dados

dividas = load_imf_dataset('dados_imf_divida.xls')
juros_longo_prazo = load_imf_dataset('juros_longo_prazo.xls')
pib = load_imf_dataset('pib.xls')

Dados e equações por trás da dívida pública.

A dívida pública representa uma das variáveis agregadas mais relevantes na economia, pois reflete o resultado dos empréstimos que o governo contrai para financiar seus investimentos. Para entender os aspectos macroeconomicos de um país é relevante avaliar a evolução da dívida pública, bem como os fatores que a influenciam.

Geralmente a dívida pública é expressa como uma proporção do PIB (Equação 1), assim é possível avaliar a capacidade de pagamento do governo, uma vez que o PIB representa a capacidade de geração de renda de um país. Realizando uma análise dimensional é possível interpretar a métrica da seguinte maneira: O PIB é uma variável que representa fluxo financeiro em um determinado período (R$ / Ano), enquanto a dívida pública é uma variável que representa um passivo (R$), então, uma possível interpretação para a dívida pública como proporção do PIB é que esta representa o número de anos que o governo levaria para pagar sua dívida, caso todo o PIB fosse destinado para tal fim.

Nota

Exemplificando, se a dívida pública é 80% do PIB, isso significa que o governo levaria 0,8 anos para pagar sua dívida, caso todo o PIB fosse destinado para tal fim.

\[ DividaPIB_t = \frac{Divida_t}{PIB_t} \tag{1}\]

Representação Matemática da Dívida Pública

Um conceito relevante para a dívida pública é o resultado primário (Equação 2), que representada a diferença entre os gastos do governo $G_t$ e a receita do governo $R_t$.

\[ D_t = G_t - R_t \tag{2}\]

Quando $G_t - R_t > 0$, temos um déficit primário, indicando que o governo está gastando mais do que arrecada.
Por outro lado, se $G_t - R_t < 0$, temos um superávit primário, o que significa que o governo está arrecadando mais do que gastando.

Quando o governo gasta mais do que arrecada, ele precisa financiar este déficit por meio de empréstimos, que são representados pela emissão de títulos públicos. E esse financiamento contém juros, que são representados pela taxa de juros $i_t$. Portanto ao longo do tempo, a dívida pública é representada pelo resultado primário mais os juros da dívida anterior, conforme a Equação 3.

\[ Divida_t = (1 + i_{t-1}) Divida_{t-1} + (G_t - R_t) \tag{3}\]

Dívida Pública como Proporção do PIB

A dívida pública como proporção do PIB é representada pela Equação 4, que é a razão entre a dívida pública e o PIB.

\[ DividaPIB_t = \frac{Divida_t}{PIB_t} = (1 + i_{t-1}) \frac{PIB_{t-1}}{PIB_t} \frac{Divida_{t-1}}{PIB_{t-1}} + \frac{G_t - R_t}{PIB_t} \tag{4}\]

Assumindo que o PIB cresce a uma taxa constante $g$, podemos representar ¹ a dívida sobre o PIB em função dos juros dos títulos públicos, da taxa de crescimento do PIB e do resultado primário, conforme a Equação 5.

\[ \frac{PIB_{t-1}}{PIB_t} = 1 + g \implies DividaPIB_t = \frac{1 + i_t}{1 + g} DividaPIB_{t-1} + \frac{G_t - R_t}{PIB_t} \tag{5}\]

Visando analisar a evolução da dívida em termos dos juros ($i_t$), da taxa de crescimento do PIB ($g$) vamos considerar que o resultado primário é nulo ($G_t - R_t = 0$), ou seja, o governo não gasta mais do que arrecada. Neste caso, temos a Equação 6, que representa a evolução da dívida pública como proporção do PIB.

\[ DividaPIB_t = \frac{1 + i_t}{1 + g} DividaPIB_{t-1} \tag{6}\]

Avaliando os juros e a taxa de crescimento do PIB, temos 3 cenários possíveis:

Ineficiência Dinâmica: $i < g$, em que a dívida pública diminui ao longo do tempo, uma vez que os juros são menores que a taxa de crescimento do PIB. Nesse caso, o governo consegue pagar sua dívida com o tempo.
Sustentabilidade: $i = g$, onde a dívida pública permanece constante ao longo do tempo, já que os juros igualam a taxa de crescimento do PIB. Assim, a dívida cresce na mesma proporção do PIB, mantendo sua relação constante.
EFiciência Dinâmica: $i > g$, em que a dívida pública cresce indefinidamente, uma vez que os juros superam a taxa de crescimento do PIB, tornando a trajetória da dívida insustentável.

Nota

O conceito de ineficiência dinâmica parece um pouco contraditório, pois no limite a dívida sobre o PIB tende a zero, o que significa que o governo não terá mais dívida. Mas sem dívida, significa que o governo não está mais realizando investimentos em projetos de longo prazo, que são benéficos para as gerações futuras. Portanto, o governo não deve focar em acumlar capital no presente, mas sim em realizar investimentos que gerem um aumento de produtividade no futuro.

Qual é o nível ideal de dívida pública?

Para entender qual é o nível ideal da dívida é necessário entender as depesas do governo, que podem ser divididas em 2 categorias:

Despesas Correntes: são as despesas que o governo tem com a manutenção da máquina pública, como pagamento de salários, manutenções de infraestrutura, etc.
Despesas de Capital: são as despesas que o governo tem com investimentos, como obras de infraestrutura, construção de escolas, etc.

Para o bem das futuras gerações, de acordo com a regra de ouro ², o governo não deve financiar suas despesas correntes com dívida, pois isso significa que as gerações futuras terão que pagar por despesas que não foram feitas em seu benefício. Portanto, o governo deve financiar suas despesas correntes com receitas correntes, como impostos e contribuições sociais.

Do ponto de vista de juros e crescimento, o cenário ideal é que os investimentos feitos hoje gerem um aumento de produtividade no futuro, de forma que o crescimento do PIB seja maior que os juros da dívida. Neste caso, o governo pode financiar seus investimentos com dívida, pois as gerações futuras terão um ganho de produtividade para pagar a dívida, ou seja, no longo prazo a dívida é sustentável.

Qual é razão de países com dívidas públicas elevadas?

O Japão é um exemplo de país com uma dívida pública elevada, em 2022 o país atingiu uma dívida de 261% do seu PIB (Figura 1). A população japonesa, conhecida por seu conservadorismo em relação aos gastos e investimentos, frequentemente leva o Estado a investir na economia para estimular o crescimento (PIB). Além disso, a demografia do país também contribui para a alta dívida, com uma população que possui uma longevidade elevada, as despesas correntes com aposentadorias e saúde são significativas ³

# Dívida Pública do Japão

fig = make_fig()

start_year = '1980'

fig.add_trace(go.Scatter(x=dividas.loc[start_year:].index, 
                        y=dividas.loc[start_year:]['Japan'], 
                        name='Japão',
                        line=dict(color='#dc3545', width=5)))

fig.update_layout(
    title='Dívida Pública do Japão',
    xaxis_title='Ano',
    yaxis_title='Dívida Pública (% do PIB)',
)

# Explosão da Bolha Financeira e Imobiliária
fig.add_vrect(
    x0="1989", x1="1991",
    fillcolor="#6c757d", opacity=0.5,
    line_width=0,
)

fig.add_annotation(
    x="1995", y=250,
    text="Explosão da<br>bolha financeira<br>e imobiliária<br>no Japão",
    align="left",
    showarrow=False,
)

fig.show()

(a) Evolução da Dívida Pública do Japão desde 1980

(b)

Figura 1

A trajetória de aumento da dívida no Japão teve início na década de 1990, após a crise financeira e imobiliária o país entrou em ciclo de baixo crescimento econômico, e para amenizar os impactos da crise e manter o orçamento equilibrado, o país emitiu dívida via títulos públicos com baixas taxa de juros, porém com baixo risco dado a confiança do mercado na economia japonesa ⁴

Apesar da dívida emitida ter baixos juros, o crescimento econômico foi menor que a taxa de juros (Figura 2), resultando numa situação de eficiência dinâmica, em que a dívida pública cresce ao longo do tempo.

taxas_medias = juros_longo_prazo.loc['1991':].mean() / 100

pib_cagr = pib.loc['1991':].pct_change().add(1).prod() ** (1 / len(pib.loc['1991':])) - 1

yield_pib = pd.concat([taxas_medias, pib_cagr], axis=1)
yield_pib.columns = ['Taxa de Juros Média', 'Crescimento do PIB Médio Anual']

yield_pib.rename(index={'Japan': 'Japão', 'Brazil': 'Brasil', 'United States': 'Estados Unidos'}, inplace=True)

yield_pib = yield_pib.loc[['Japão']]

fig = make_fig()

label_long_term = "Média dos Juros<br>de Longo Prazo"

fig.add_trace(go.Bar(x=yield_pib.index, 
                     y=yield_pib['Taxa de Juros Média'], 
                     name='Média dos Juros<br>de Longo Prazo',
                     text=[f"<b>{(round(x * 100, 2))}%</b><br><br>{label_long_term}" for x in yield_pib['Taxa de Juros Média']],
                     marker_color='#dc3545'))

label_pib = "CAGR do PIB"

fig.add_trace(go.Bar(x=yield_pib.index,
                      y=yield_pib['Crescimento do PIB Médio Anual'],
                      name='CAGR do PIB',
                      text=[f"<b>{(round(x * 100, 2))}%</b><br><br>{label_pib}" for x in yield_pib['Crescimento do PIB Médio Anual']],
                      marker_color='#1083ff'))

fig.update_layout(
    title='De 1991 a 2022, a Dívida Pública do Japão foi crescente<br>com baixos juros e crescimento econômico mais baixo ainda',
)

# remove y axis 
fig.update_yaxes(showticklabels=False)

# remove legend
fig.update_layout(showlegend=False)

Figura 2: Taxa de Juros de Longo Prazo e Crescimento do PIB do Japão

Portanto, para entrar em uma trajetória de sustentabilidade, ou até mesmo de ineficiência dinâmica, o Japão precisa aumentar seu crescimento econômico, e para isso é necessário aumentar a produtividade e investimentos em projetos de longo prazo.

Dívida Pública no Brasil

Nesta seção vamos analisar a evolução da dívida pública no Brasil, analisando a antiga dívida com o FMI, e mais recentemente a questão do arcabouço fiscal.

Dívida Interna e Externa

Desde o período colonial, o Brasil sempre teve questões relacionadas a dívidas externas, e no período mais recente destaca-se a dívida com o FMI (Fundo Monetário Internacional). Durante o período militar (1964-1985), houve bastante investimento em projetos de infraestrutura porém com crises relevantes como a crise mundial do petróleo as fontes de capital se exauriram, e o Brasil passou a ter dificuldade para pagar suas divídas externas, e nesse cenário o país recorreu ao FMI para financiar suas dívidas ⁵, então enquanto o país possuia uma dívida externa com o FMI, havia uma correlação positiva entre a dívida pública do Brasil e o dólar, portanto quando o dólar subia, a dívida pública do Brasil também subia, e vice-versa.

Após saldar a dívida com o FMI em 2005, o Brasil passou a ter uma posição credora em dólar, conforme ilustrado em Figura 3. Portanto, a dívida pública do Brasil passou a ter uma correlação negativa com o dólar em momentos de crise, como na crise política de 2015 e a crise da Covid-19 em 2020, onde o dólar subiu e a dívida pública do Brasil caiu. Portanto, ao eliminar a dívida externa a dívida pública do Brasil ficou mais resiliente a fatores externos.

import yfinance as yf

dolar = yf.download('BRL=X', start='1994-07-01', end='2021-12-31')
dolar = dolar['Close'].resample('Y').last().dropna()

fig = make_fig()

fig.update_layout(
    title='Após saldar a dívida com o FMI,<br>o Brasil aumentou sua posição como credor em dólar<br><sup>Evolução da Dívida Pública e do Dólar',
    xaxis_title='Ano',
)

# dual y axis
fig.update_layout(yaxis2=dict(anchor="x", overlaying="y", side="right"))

# Dívida Pública do Brasil
fig.add_trace(go.Scatter(x=dividas.loc['2003':].index, 
                        y=dividas.loc['2003':]['Brazil'], 
                        name='Dívida',
                        line=dict(color='#dc3545', width=5)))

# Dólar
fig.add_trace(go.Scatter(x=dolar.index, 
                        y=dolar, 
                        name='Dólar',
                        line=dict(color='#1083ff', width=5),
                        yaxis='y2'))

# Crise de 2008
fig.add_vrect(
    x0="2008", x1="2010",
    fillcolor="#f9a785", opacity=0.5,
    line_width=0,
)

fig.add_annotation(
    x="2007", y=100,
    text="Crise<br>Financeira<br>de 2008",
    align="right",
    showarrow=False,
)

# Crise de 2015
fig.add_vrect(
    x0="2016", x1="2017",
    fillcolor="#068b7f", opacity=0.5,
    line_width=0,
)

fig.add_annotation(
    x="2015", y=100,
    text="Crise<br>Política<br>de 2015",
    align="right",
    showarrow=False,
)

# Covid
fig.add_vrect(
    x0="2020", x1="2022",
    fillcolor="#068b7f", opacity=0.5,
    line_width=0,
)

fig.add_annotation(
    x="2023", y=100,
    text="Covid-19",
    align="left",
    showarrow=False,
)

# hide y axis
fig.update_yaxes(showticklabels=False)

fig.show()

Figura 3: Dívida Pública do Brasil e Dólar: Após o aumento da exposição cambial, a dívida pública do Brasil passou a ter uma correlação negativa com o dólar em momentos de crise.

Teto de Gastos e Arcabouço Fiscal

Com o objetivo de manter a trajetória da dívida pública sob controle, ao longo do tempo o Brasil adotou medidas para limitar o crescimento dos gastos públicos, destacando-se o teto de gastos e o arcabouço fiscal.

O Teto de Gastos foi aprovado em 2016 durante o governo Temer, e limitava o crescimento dos gastos públicos à inflação do ano anterior, então o governo não podia gastar mais do que o ano anterior, corrigido pela inflação.

Já o arcabouço fiscal aprovado em 2023 pelo governo Lula, estabelece uma regra baseada em metas e bandas ao redor do resultado primário (Equação 2), onde as despesas do governo só podem crescer até 70% das receitas do ano anterior, e caso o resultado primário esteja abaixo da meta inferior, o governo deve limitar os gastos em 50% das receitas do ano anterior, e no cenário de resultado primário melhor que a meta superior, o governo pode utilizar o excedente para investir. Na Figura 4, podemos observar as metas propostas pelo governo.

resultado_primario = {
    '2023': -0.5,
    '2024':  0,
    '2025':  0.5,
    '2026':  1,
}

banda_superior = 0.25
banda_inferior = -0.25

fig = make_fig()

fig.update_layout(
    title='Metas do Arcabouço Fiscal',
    xaxis_title='Ano',
    yaxis_title='Resultado Primário (% do PIB)',
)

# Metas do Arcabouço Fiscal

fig.add_trace(go.Scatter(x=list(resultado_primario.keys()), 
                        y=list(resultado_primario.values()), 
                        name='Metas',
                        line=dict(color='#dc3545', width=5)))

# Banda Superior
fig.add_trace(go.Scatter(x=list(resultado_primario.keys()), 
                        y=[x + banda_superior for x in resultado_primario.values()], 
                        name='Banda Superior',
                        line=dict(color='#1083ff', width=5)))

# Banda Inferior
fig.add_trace(go.Scatter(x=list(resultado_primario.keys()), 
                        y=[x + banda_inferior for x in resultado_primario.values()], 
                        name='Banda Inferior',
                        line=dict(color='#1083ff', width=5)))

fig.show()

Figura 4: Metas do Arcabouço Fiscal

Portanto, o arcabouço fiscal é mais flexível que o teto de gastos, e tem um vinculo com metas de resultado primário, o que alinhar as expectativa dos agentes econômicos e incentiva uma melhor gestão dos gastos públicos para aumentar os investimentos em áreas de interesse do governo.

Conclusão

Nesse artigo, analisamos a dívida pública sob uma perspectiva matemática, cobrindo conceitos como a relação entre dívida e PIB, a regra de ouro do governo. E na sequência, analisamos um país com uma dívida pública elevada, o Japão, e por fim, analisamos a dívida pública do Brasil, destacando a questão da dívida com o FMI, e mais recentemente o arcabouço fiscal.

Notas de rodapé

Simplificação sem considerar fatores como inflação, para didática sobre a dívida pública.↩︎
Tesouro Nacional: Conhecendo a Regra de Ouro ↩︎
Matéria do The Economist: Populações idosas significam mais gastos do governo ↩︎
Dívida do Japão ↩︎
Relação do Brasil com o FMI ↩︎