O algoritmo de investimento que teve 951,62% de rentabilidade
O que são finanças quantitativas?
No mundo dos investimentos, a maneira “clássica” de se investir em empresas de capital aberto segue o seguinte processo:
- Analisar cuidadosamente os fundamentos e resultados da empresa
- Estudar a equipe que faz a sua gestão
- Estimar as perspectivas políticas e econômicas para o futuro
- Estimar preço de ações, por meio de técnicas como valuation (avaliação de empresas).
Outra maneira de se investir, que vem se tornando muito popular nos últimos anos, é criar algoritmos que definem a forma de operar no mercado financeiro, executando tudo automaticamente. É isso que fundos quantitativos fazem, seguindo o seguinte processo:
Obter dados para os modelos computacionais. Desenhar a estratégia a ser executada pelo algoritmo. Testar o algoritmo em dados passados para ver se o algoritmo é robusto o suficiente (processo conhecido como backtesting). Implementar o algoritmo em tempo real. Existem muitas estratégias diferentes utilizadas por gestores quantitativos. Neste texto iremos abordar uma estratégia baseada numa anomalia de mercado, que é o Momentum.
O que é Momentum?
“We search through historical data looking for anomalous patterns that we would not expect to occur at random.” — Jim Simons
Momentum é uma palavra de origem latina, que na física clássica significa quantidade de movimento ou embalo, ele pode nos indicar duas coisas: a direção e a magnitude de um corpo em movimento. Além disso, outro elemento importante é a lei da inércia, que é a tendência natural de um objeto manter seu estado de repouso ou movimento.
Com esses dois conceitos, podemos dizer que o momentum nos indica para onde e o quão rápido um objeto está se movendo, e que se não houver interferência externa, será constante.
Trazendo para o contexto de finanças, o momentum é uma estratégia de investimento fundamentada no embalo dos preços, que considera a tendência dos preços para uma tomada de decisão de um investimento. Esse fator pode ser descrito por meio da Equação 1
\[ Momentum = r_{t-k, t} = \frac{P_t - P_{t-k}}{P_{t-k}} \tag{1}\]
A formula acima compõe o que chamamos de retorno de um ativo, sendo o parâmetro \(k\) o período ao qual desejamos avaliar o retorno, podendo ser diário, semanal, mensal, etc.
Podemos extrair o momentum a partir da equação do retorno apresentada, já que o retorno armazena tanto informação de intensidade de aumento ou decréscimo, quanto de tendência positiva ou negativa. Assim, podemos avaliar o momentum de 12 meses, tomando um período mensal e fazendo \(k = 12\).
Hipótese do Mercado Eficiente
De uma maneira simplificada, é uma teoria de investimento que diz que os preços do mercado sempre refletem corretamente e imediatamente as informações relacionadas ao ativo 1
Uma característica importante do momentum é o fato de ser uma anomalia da hipótese do mercado eficiente. Isso acontece porque, de acordo com a hipótese, o aumento ou decréscimo no preços de ativos deveria estar acompanhado de novas informações. Porém, o momentum indica que há tendência de movimento dos preços independentemente de novas informações.
Volatilidade
Um conceito frequentemente associado ao risco de um ativo é a volatilidade. Pois como o risco precisa ser mensurado, a volatilidade acaba sendo uma das formas mais simples de mensurar o risco. A partir dos dados histórico de uma série temporal, podemos utilizar uma medida descritiva estatística chamada desvio padrão para determinar a variação dos dados entorno de sua média histórica.
Um valor baixo de volatilidade indica uma estabilidade no investimento. Já uma alta volatilidade indica incerteza, porém com um potencial de lucro maior, se o investidor estiver disposto a suportar o risco. Além do desvio padrão, existem diversas outras maneiras de estimar risco:
EWMA 2
Um estimador um pouco mais complexo é advindo do modelo de médias móveis, o exponentially weighted moving average. Esse estimador basicamente calcula o desvio padrão com um peso ponderado maior para os dados mais recentes. Essa característica é muito importante, pois em longos períodos a série temporal pode perder a estacionalidade, o que prejudica nosso modelo se considerarmos valores muito distantes.
Número de Parkinson 3
O Número de Parkinson foi desenvolvido pelo físico Michael Parkinson em 1980 e tem como objetivo estimar a volatilidade de uma série temporal a partir dos preços de High e Low. A principal vantagem em relação ao EWMA é a adição de variação intra diária, pois no cálculo leva-se em conta os valores de alta e baixa dos preços.
\[ \sigma_{PK} = \sqrt{\frac{1}{4ln2} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} log^2 \frac{H_i}{L_i}} \tag{2}\]
Para calcular essa estimativa são necessários dois parâmetros \(N\) e \(n\). Sendo \(N\) um fator de escala dos períodos, se for necessário um desvio padrão diário atribui-se \(N = 1\), já para o desvio padrão anual N = 365. O segundo parâmetro n é o tamanho da amostra de dados passados que serão utilizados no modelo. Escolhido n realiza-se o somatório dos n períodos passados, da seguinte operação: logaritmo da divisão do preço de alta e baixa dos n períodos, e por fim eleva-se ao quadrado para realizar a soma, a formula completa pode ser vista na Equação 2.
Garman-Klass 4
Garman é uma extensão do número de parkinson, porém agora com a inserção de mais dados no modelo, que são preços de abertura e fechamento do dia. Esses dados ajudam a aumentar a precisão do estimador, principalmente em ativos com maior estresse em momentos de abertura e fechamento. O cálculo é similar ao estimador anterior, pode ser visto na Equação 3.
\[ \sigma=\sqrt{\frac{N}{n} \sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{2}\left(\log \frac{H_i}{L_i}\right)^2-(2 \log 2-1)\left(\log \frac{C_i}{O_i}\right)^2\right]} \tag{3}\]
Comparação entre volatilidades
Para efeito de comparação construímos o gráfico das 3 volatilidades em um preço de contrato futuro. Podemos perceber que, principalmente em momentos de maior estresse, os modelos Parkinson e Garman Klass têm uma resposta mais rápida e mais precisa. Um período que pode-se destacar é o ano de 2008, que os dois modelos acabaram captando mais informações intra diárias da crise da bolha hipotecária.
Estratégia de investimento
A estratégia de investimento do Time Series Momentum é dada pela Equação 4.
\[ r_{t, t+1}^{\mathrm{TSMOM}}=\frac{1}{S_t} \sum_{s=1}^{S_t} \operatorname{sign}\left(r_{t-12, t}^s\right) \frac{40 \%}{\sigma_t^s} r_{t, t+1}^s \tag{4}\]
E pode ser dividida em 3 principais etapas:
Posição
\[ \operatorname{sign}\left(r_{t-12, t}\right)= \begin{cases}+1, & \text { comprado } \\ -1, & \text { vendido }\end{cases} \tag{5}\]
Para determinar a posição de compra ou venda de um ativo, é necessário algum sinal de previsão, neste caso é utilizado o momentum (retorno) de 12 meses. Com o sinal em mãos classifica-se a posição a partir da direção do momentum.
Alocação \[ \frac{40 \%}{\sigma_t^s} \tag{6}\]
Para o modelo de alocação será utilizada uma paridade de risco simmplifica, a partir da volatilidade dos ativos escolhidos para a carteira. Defini-se o desvio padrão anual médio da carteira como meta, pois estamos dispostos a ter um risco médio de um contrato futuro, que no caso dos nossos dados é de 40%.
Para o risco estimado, podemos utilizar as volatilidades discutidas nos tópicos anteriores. Com os dois parâmetros necessários (risco estimado e risco médio), temos uma razão que é inversamente proporcional ao risco de um ativo, ou seja, ativos muito voláteis acabam tendo uma alocação menor, e o contrário ocorre para ativos com baixo risco, que têm uma maior parcela na carteira.
Vale ressaltar que ambos os casos tendem a se normalizar para o risco do portfólio (40%). Por exemplo: um ativo com 20% de volatilidade, o cálculo da alocação seria o seguinte: 40%/20% = 2, ou seja, esse ativo teria um alavancagem de 2 vezes, o que dobraria seu risco.
Retorno do portfólio
\[ \frac{1}{S_t} \sum_{s=1}^{S_t} r_{t, t+1}^s \tag{7}\]
Por fim, temos o número que realmente importa, o rendimento total do investimento. Podemos calculá-lo no fim do período, com os retornos de cada ativo. Graças a simplificação de alocação, podemos calcular a média do retorno de todos ativos (\(St\)), esse será o retorno do portfólio, conforme a Equação 7.
Resultados
Para realizar o backtesting da estratégia, utilizamos um dataset de preços dos mais diversos tipos de contratos futuros. No total são mais de 20 anos de preços históricos, com mais de 50 ativos.
Afim de comparação, foi elaborada uma segunda estratégia de momentum. Porém, essa é Long only, ou seja, não depende do sinal do momentum, na qual todas as posições são compradas (Long). Em ambos os casos utilizamos o estimador de risco EWMA.
E aqui finalmente temos os resultados do TSMOM. Ao total, obtemos 382.36% na estratégia original e 563.65% na long only. Que anualizando os retornos temos respectivamente 8.63% e 10.47%. Apesar de, no longo prazo, o TSMOM não superar o seu índice (Long only), é importante ressaltar a performance entre os anos 2000 e 2009. Período no qual ocorreram duas importante crises: bolha da internet (“dot-com”) e bolha hipotecária.
Performace em crises
Uma das principais características desse algoritmo é a sua resiliência em períodos de crise. Aqui temos novamente o caso da crise de 2008, quando o mercado foi acumulando quedas constantes nos preços, refletindo numa tendência de momentum negativo. E no auge da crise, em outubro, os preços de commodities e ações caíram drasticamente. Propiciando assim um momentum muito negativo. Nessa situação, o TSMOM se posicionou majoritariamente vendido, gerando grandes lucros no último trimestre de 2008.
Momentum composto e com Garman-Klass
Com o intuito de adicionar mais informações no modelo, utilizamos o estimador de risco Garman-Klass e construímos um momentum modificado. Que é basicamente a média de momentums com períodos diferentes, os escolhidos foram 3, 6 e 12 meses. Essas modificações fizeram nosso algoritmo performar melhor que o Long Only, tal feito pode ser justificado pela a adição de informações mais recentes ao modelo, fazendo-o reagir mais rapidamente a grandes variações de preço. Com essas modificações alcançamos o resultado de 951,62%! Que anualizado implica em 13,18%.
Aprimoramentos
Resultados bem expressivos né? Porém essa estratégia parte de um pressuposto muito simples, que é de que o momentum de 12 meses é suficiente para decidir a compra ou venda um ativo pelo próximo mês, assumindo que o seu momentum será mantido! Podemos aprimorar esse algoritmo com o auxílio de feature engineering, técnicas de cross validação em séries temporais e machine learning, que podemos abordar em um futuro artigo.